Wicky Roam's Blog

抽象代数Skeleton 1

。。。都是该死的考试惹得祸，开始紧张了，梳理给自己，也是写给大家，可能大家也会在考试之前有所借鉴吧~（红色的是我回忆落下的）
知识梳理：
群的概念，运算封闭，结合律，单位元，逆元。验证一个集合关于一个运算是群的时候缺一不可。另外如果可以交换就是Abel群。 子群，在群内，只要验证一个元乘以另一个元的逆元在这个集合里即可。 左右陪集，用于划分一个群，可以划分成多个部分，有Lagrange定理，用于计数（同时可以是关于群的阶和元素的阶）。 正规子群，虽然左右陪集划分了一个群，但是这样的划分本身不成群，（也可以说运算无定义）所以引入左陪集=右陪集的概念来研究一个群的子群。有3个同构定理，主要用第一个做题，定义同态，求运算的核。 群的直和（直积）还是可以用来定义群（弱直和），特别注意定理如果一个群，可以表示为不交（其实是平凡交）正规子群生成的，则这个群就和这些正规子群的直和同构，这可以用来表示这个群的结构。 特殊群： 循环群，循环群生成元只用一个，然后任何阶子群最多有一个，然后p阶群（p是素数）在同构意义下只能是循环群。 对称群，n个元素的所有排列组成的群，无所不包，它的偶排列形成一个群，这个群是单群（除非n=4，有4阶正规子群）排列即算术。。 dehedral group: 这个不好翻译。。似乎是二面体群，它的生成元有两个，n阶群元素2n个，说白了就是一个正n变形来回转，是n阶对称群的子群
注意要点：
关于集合之间的运算要证明这个运算时可以定义的 关于证明同构，必须先证明同构，而且这个映射又单又满 关于同构类，需要找到一个样板群，比如说(Z/pZ,+) 关于直和，证明的时候别写晕了下标。。 关于有限阶群的构造，

我一直不愿意承认你是我生命中的过客【转载】

当令你快乐的一切不能再令你快乐，当令你悲哀的一切不能再令你悲哀，甚至激怒你的一切不能再激怒你的时候，是不是很可怕？一位哲人曾说过：这就叫做苍老。

再想起你，你的名字，你的笑，你的一切，都只能加上一个“别人的”。
再想起我们在一起的事，也只能加上一个“曾经的”。

有些感情是指甲，剪掉了还会重生，无关痛痒。而有些感情是牙齿，失去以后永远有个疼痛的伤口无法弥补。

不见面不等于不思念，不联络只是为了掩饰眷恋。

有些人脸上太多的笑是因为他们心中有太多的泪。

人生有一个地方，有一个人，在这个人面前，可以不必有出息，可以不必有形象，可以全身是弱点，这是知己。

每个人在每个阶段得做每个阶段的事，就算怀念，都得离开。

只有你不想放的，没有你放不下的。

很多人，很多事，原本是熟悉的，以为明天可以再继续的。于是转过身暂时放手，想的是明日又将重聚的希望。太阳落下去重新升起来以前，那些事，就不可能再经历；那些人，就从此与你永别了。

有时候不知道真相，不了解本质的人，是快乐的．而能够假装不知道真相，不了解本质的人，却是幸福的．

就像一个热闹的party刚刚结束，人走了，灯灭了，黑暗中就只剩下你一个人……人有时就需要在寂寞中才能自省．只有从喧嚣走入寂静，你才会专注自己的心灵．

对的时间,遇见对的人,是一生幸福.
对的时间,遇见错的人,是一场心伤.
错的时间,遇见错的人,是一段荒唐.
错的时间,遇见对的人,是一生叹息.

生命中不断有人离开或进入．于是，看见的，看不见了；记住的，遗忘了．生命中不断有得到和失落．于是，看不见的，看见了；遗忘的，记住...

关于哥德尔不完备定理

这里不是从学科角度，而是讲了一个比较通俗的故事，为了让大家更容易的懂这个定理罢了，如果大家想仔细学的话，请去看数理逻辑书。
哥德尔不完备定理是说，我们不可能完全的公理化。
故事发生在上个世纪30年代，Hilbert想完成人类的一项伟业，就是完全公理化，就是把这个世界都归于一个系统，在这个系统里，有所有数学的公理，在这些公理基础上可以证明所有的定理。这是一个很疯狂的想法，和Einstein当年为“统一场论”作出的努力一样，都是划时代的。不过这个计划由于Godel的出现，完全夭折了，于是人类懂得更多。
数学的公理化我原来曾经讲过，请看这里， 通俗来讲，Godel的想法是把所有公理标上号，因为人类只能计算有理数个公理，然后他证明了当这些公理增长的时候，定理的个数随着指数增长，所以他怎么都不能用有理数标全所有的定理，也就是说定理的个数是2的公理次幂。
这个结果直接粉碎了Hilbert的计划，使他晚年的研究趋于平庸，而对于Einstein来说，真的存在统一场？说不定又一个哲学家可以粉碎他的梦想。
对于Godel，当然他进了精神病院，对于这样一个天才，上天让他疯掉，可能是公平的吧，他人生的最后时光认为所有的人，除了他爱的妻子都想杀他，所以当他妻子病死了之后，他不久就绝食而死。
但人类确实知道的更多，除了学术上的成就，这个定理其实可以解释一个现实现象，那就是，为什么人类学的知识越多，却发现他们自己懂得越少。
既然哥德尔说明了这个世界上没有完备的系统，也就是说我们只能扩展自己的知识，却永远到不了尽头，而且发现自己不懂得的越来越多。知识真的没有止境吗？
为什么人会信神？我是不可知论的。我尽可能客观的说...