Klein瓶

我们首先从Mobius带讲起。

可能大家都听说过，如果没有听说过没有关系，我们可以做一个实验，拿一张白纸，剪一个长方形小窄条，然后把长方形窄的两端反方向贴在一起，就可以形成右图。

Mobius

注意到我们只用了一个长方形的纸条，但是我们粘出来的东西总感觉是一个扭曲的空间，假想你是一只小小的蚂蚁，在外面绕着这个带子爬，你一直看着左边，当你很努力的爬了一圈的时候，你回到了原点，不过你已经在里面了！而且你看到的左边变成了右边！

世界似乎倒转了，还好地球不是这样的，如果我们的地球是这样的话，那环游地球八十天回到伦敦的Phileas Fogg先生发现自己应该已经面向地壳了吧，嗯~开个玩笑。

作为天才的发明，Klein设计了这个瓶子

Klein2

我们仍然假设自己是蚂蚁，那么我们从一个点爬啊爬，怎么才能够环绕一圈并且回到原点呢？

Klein瓶似乎更神奇，因为它更像一个三维空间里的产物，是我们现实中的东西，如果我们在这个空间里行走，绕行一圈，我们以为自己走出去了，但是，其实我们还在这个空间里，这就是扭曲的魅力。

事实上，Klein瓶包含了两个Mobius带，这个是拓扑里面的概念，抛开数学不谈，是不是宇宙就是这样一个空间，或者是更高维的，再大胆一些，我们的背后是不是还有另一个星球？

对于数学，如果感兴趣，看看Wiki，会很有收获的~

而这个网站是权威的介绍这一理论的电子书,我先做个标记,如果我有时间了,应该会写这一方面的内容

http://www.galois-group.net/

当时对于这个东西，虽然它没有魔方抽象，不过要把它拼好绝对不是一件容易的事情，我当时就作为一个笨小孩，总是乐于绕在其中不得其法。现在想想，应用抽象代数的理论可以把它轻易的解出来，其实，它只是群论里的一个简单应用罢了

模型抽象：
首先我们要建立这个玩具的数学表示：
为了方便起见，我们认为这样一个游戏是N*N大小的，而且右下角的那个角块为空。然后把其他的小块标号，现在假设N=3，正确的顺序如下图所示：

现在我们来制定游戏的规则，游戏的规则是：空格和它旁边的（仅有它旁边的可交换）。

这个游戏的抽象很简单，重要的是我们要做什么，我们的研究目的是：这种初始形式可以变成什么样其他的样式？

模型求解：

定义：一个置换（transition）就是把上述N*N的图中的任何两个数字交换。

这一节里我们将阐释这篇文章最重要的结论，这个结论是：

一个被打乱的3*3智力拼图可以被复原，当且仅当打乱后的样式和原始样式相差偶数个置换。

1. 首先我们永远要把空格保持在最下面，事实上，不论空格到哪里，它都可以回到最下面。（这很简单，也是明显的）

2. 每次进行一次操作，我们必须要移动一次空格，而根据1，我们要把空格挪到别的地方，然后再挪回来，这样，来回操作必须是偶数次，所以每次我们需要把次序重排，必须要偶数次操作。

3. 根据抽象代数的结论，偶数次置换，就是偶数次操作，这是等价的

4. 由2,3，我们可以得到，如果3*3的智力拼图可以复原，那么它必然经过偶数次置换，至此我们完成了(==>)的证明。

5. 为了证明(<==)，我们找到一个偶置换，我们要求这个偶置换比较标准，最好就是2次置换。

在这4幅图中，我们每次都挪动了两次空格，从效果上来看我们把6->5, 5->8, 8->6, 这样，我们事实上通过了2次置换，记做(568)

现在来看我们证明存在任何(abc)，这样我们就可以从初始形式得到所有的偶置换，也就是说，只要是偶置换，就可以复原。
除了(568),必然存在(56b) (b!=8)
(56b)(568)(65b)=(6b8)=(86b)
(86a)(86b)(68a)=(8ab)=(b8a)
(b8a)(b8c)(8ba)=(abc)

所以说我们有任意的偶置换。证毕。

注记：这样的所有偶置换，构成一个群，被称作交错群，事实上，偶置换再乘上一个置换，就成为一个奇置换，所以这奇偶置换的个数是相同的，这个就是所有置换，所有置换有8!那么多（除去空格），那么偶置换的个数是8!/2个，因此对于一个3*3的拼图，我们可以凑出8!/2=20160种正确样式！当然你把拼图拆了，可以弄出更多：）

对于N>3，我们可以类似的得到上述结论，但是N=2时，运用枚举法，它只有一种样式。

上述的构造对于玩智力拼图是非常有益的，因为，从这个构造我们可以作出任何的偶置换，所以如果这个拼图是正确的，我们一定能还原，虽然可能会比巧妙解法慢很多。

该文是本人自己根据回忆（。。。）想出，所以可能有考虑不周之处，或者说的不清楚的地方，请大家指出。

度量空间，性质，对称性，三角不等式。度量是用来测量距离的，也就是赋予线性空间几何性质（还稍稍有别于拓扑性质）
范数空间，可看作度量空间的拓展，每个度量可以诱导出一个范数空间，每个范数空间也可以定义度量。
内积空间，可用于定义范数，Cauchy-Schwarz不等式
Banach空间，完备的范数空间
Hilbert空间，完备的内积空间

有了几何性质，度量空间可以定义极限。对于一个点，能找到一个空间中的序列逼近，就叫做极限。反之，如果任何一个好的序列（Cauchy列）能逼近空间中的一点（并不是总成立），就叫空间完备。如果两个序列收敛，且它们距离趋于0，则趋于同一点。空间中的集合时有界的，即任何两点间距离小于无穷，但是这个定义没有实数中那么管用，因为在无限维空间里，有界往往不能研究出空间的性质，这时，需要一致有界，也就是这个集合可以被任何有限epsilon网覆盖。在有限维两个一样，但是无限则不同，一致有界更强。一致有界的充要条件是对于任何一个序列，有一个子列，是Cauchy，可分，一致有界的集合都可分。这导出了紧性的概念，紧性是更强的性质，要求空间里的任何一个序列都有一个Cauchy子列，这个子列收敛于空间里的点。紧性的充要条件是一致有界+完备，或有限子覆盖。取一个序列收敛子列的对角线方法。

一些拓扑不变性，其实上面也有，这里把函数的性质拿出来。连续，一如数学分析中的定义。在一点连续充要条件是对于任何收敛这一点的序列，函数值收敛于这一点。一致连续，程度一致，有和连续类似的充要条件。Lipschitz连续，程度更加有限，总之是更加严格的关系。同态，指映射和逆映射都连续，拓扑等价，单位映射在不同的度量下连续充要条件任何收敛于一点的序列在另一个度量下收敛于同一点。复合的各种连续函数的保持各种连续性。开集，包含球，闭集，全体极限点，开集的补是闭集，边界。

范数等价，用Lipschitz连续定义，稠密，闭包是全体集合，

例子：无穷范数，BC（X），BUC（X）

汗。。。就这样吧，上天保佑，明天考试。。

。。。都是该死的考试惹得祸，开始紧张了，梳理给自己，也是写给大家，可能大家也会在考试之前有所借鉴吧~（红色的是我回忆落下的）

知识梳理：

群的概念，运算封闭，结合律，单位元，逆元。验证一个集合关于一个运算是群的时候缺一不可。另外如果可以交换就是Abel群。
子群，在群内，只要验证一个元乘以另一个元的逆元在这个集合里即可。
左右陪集，用于划分一个群，可以划分成多个部分，有Lagrange定理，用于计数（同时可以是关于群的阶和元素的阶）。
正规子群，虽然左右陪集划分了一个群，但是这样的划分本身不成群，（也可以说运算无定义）所以引入左陪集=右陪集的概念来研究一个群的子群。有3个同构定理，主要用第一个做题，定义同态，求运算的核。
群的直和（直积）还是可以用来定义群（弱直和），特别注意定理如果一个群，可以表示为不交（其实是平凡交）正规子群生成的，则这个群就和这些正规子群的直和同构，这可以用来表示这个群的结构。
特殊群：
循环群，循环群生成元只用一个，然后任何阶子群最多有一个，然后p阶群（p是素数）在同构意义下只能是循环群。
对称群，n个元素的所有排列组成的群，无所不包，它的偶排列形成一个群，这个群是单群（除非n=4，有4阶正规子群）排列即算术。。
dehedral group: 这个不好翻译。。似乎是二面体群，它的生成元有两个，n阶群元素2n个，说白了就是一个正n变形来回转，是n阶对称群的子群

注意要点：

关于集合之间的运算要证明这个运算时可以定义的
关于证明同构，必须先证明同构，而且这个映射又单又满
关于同构类，需要找到一个样板群，比如说(Z/pZ,+)
关于直和，证明的时候别写晕了下标。。
关于有限阶群的构造， ]]> http://www.wickyroam.com/blog/archives/111/feed 0 http://www.wickyroam.com/blog/archives/114 http://www.wickyroam.com/blog/archives/114#comments Mon, 21 Sep 2009 13:07:00 +0000 wr http://www.wickyroam.com/archives/114

这里不是从学科角度，而是讲了一个比较通俗的故事，为了让大家更容易的懂这个定理罢了，如果大家想仔细学的话，请去看数理逻辑书。

哥德尔不完备定理是说，我们不可能完全的公理化。

故事发生在上个世纪30年代，Hilbert想完成人类的一项伟业，就是完全公理化，就是把这个世界都归于一个系统，在这个系统里，有所有数学的公理，在这些公理基础上可以证明所有的定理。这是一个很疯狂的想法，和Einstein当年为“统一场论”作出的努力一样，都是划时代的。不过这个计划由于Godel的出现，完全夭折了，于是人类懂得更多。

数学的公理化我原来曾经讲过，请看这里， 通俗来讲，Godel的想法是把所有公理标上号，因为人类只能计算有理数个公理，然后他证明了当这些公理增长的时候，定理的个数随着指数增长，所以他怎么都不能用有理数标全所有的定理，也就是说定理的个数是2的公理次幂。

这个结果直接粉碎了Hilbert的计划，使他晚年的研究趋于平庸，而对于Einstein来说，真的存在统一场？说不定又一个哲学家可以粉碎他的梦想。

对于Godel，当然他进了精神病院，对于这样一个天才，上天让他疯掉，可能是公平的吧，他人生的最后时光认为所有的人，除了他爱的妻子都想杀他，所以当他妻子病死了之后，他不久就绝食而死。

但人类确实知道的更多，除了学术上的成就，这个定理其实可以解释一个现实现象，那就是，为什么人类学的知识越多，却发现他们自己懂得越少。

既然哥德尔说明了这个世界上没有完备的系统，也就是说我们只能扩展自己的知识，却永远到不了尽头，而且发现自己不懂得的越来越多。知识真的没有止境吗？

为什么人会信神？我是不可知论的。我尽可能客观的说，因为有些事情，比如人从哪里来，往哪里去，至少现在的科学是无法解释。许许多多科学家一开始都是无神论者，但是在他们功成名就之后，仔细想想这一辈子，似乎没有做太多，只是科学界之沧海一粟，不值一哂，而许多人毕生想的问题：“我为什么要活着”却始终没有解决。他们忙碌了一辈子，都在物质生活上有了很大满足，但是在精神上呢，他们无法解释一些事情，随即迷茫，疑惑，确实想想诸如“人死了就不存在了，那会是什么呢”这种问题确实会使自己毛骨悚然，脊背发凉，只有神可以来解释，于是许多人选择了信仰。我暂时还不会。。因为我在物质上还没有一点点地满足：）暂时踏着前人无神论的足迹就可以了~

其实哥德尔不完备定理的出现并不一定是坏事情。人的知识，只分成3类，人知道的，人知道自己不知道的，人不知道自己不知道的。第3类最为可怕，而哥德尔就是把一个第3类的事情变成了前两类，这很伟大。

那么知识真的没有止境，如同这个定理说的一样，使我们真的要去信神才能获得全知？这里我只能猜测-，计算机中的NPC问题，是不能用现在的计算机有效求解的，但是对于量子计算机，NPC问题可以轻易的有效求解。这说明一个不同的理论基础可以创造出不同的世界。那么我们是不是有一种逻辑系统，已经超出了现有的以归纳演绎为基础的逻辑呢？那么在那个逻辑系统下，我们是不是能扩展一个完备系统？？

这不简单，每次危机的解决都要伴随人类巨大的阵痛。改变越底层的东西人类痛得越深。既然已经来到了逻辑，那么人类要走的路，会很长，很长。

对于魔方，我们应该都不陌生，近两年来，稍微细心一点的人都可以发现，魔方作为益智玩具的一种，已经被越来越多的摆上了货架，被越来越多的人所喜爱。不久以前，我因为无聊，也就拿了一个魔方来，准备学习学习。（其实是因为同学说，许许多多数学牛人魔方都玩得很好，所以就虚荣心作祟了）然后又有一个同学和我说：“玩魔方没有意思，一看到魔方我就想起小学那些奥赛题了。”其实在研究了之后，我不认同这一点，我认为魔方作为一个特殊的代数结构，还是有其相当大的存在价值和研究价值的。这篇文章主要是由一些魔方的入门知识（科普版）和数学原理（数学版）组成的。科普版主要写魔方的基本知识，以及其玩法，启发公式的重要性。数学版主要是对魔方的数学原理进行探究，其中包含群论的一些内容。

科普版：

魔方（Rubik’s Cube）是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在1974年发明的。他发明魔方的目的是考察建筑学院学生的空间建构能力。具体地说，魔方由26块组成，具有12个棱块，8个角块，6个中心块组成，魔方中心那一块是中空的。同时6个中心块是无法移动的。那么，其实，一个魔方只有12个棱块，8个角块可以移动。（其实，拆过魔方的人都清楚，我就是一个拆魔方狂热分子。。。）。转动魔方只有一种操作，那就是，将一个面顺时针转90度。其他所有操作，都是这个操作复合而成的。那么，这一个操作，可以将魔方变出多少种不同的状态呢？答案是4.3*10^19。如此复杂的一个状态集合，也难怪大家难以把一个魔方复原了。

我佩服那些没有通过学习魔方玩法而自己把魔方复原出来的人。我自己就没有，（其实是我一位同学太坏了！他把我的魔方拆下来，又装上，于是那个是一个永不可复原的魔方，害得我后来白弄了半个月，只复原成只有一个角块不对，当然我也感谢这位同学，他让我思考了到底把魔方拆了再拼上，是一个正确魔方的概率有多大，详见数学版）这些没有自己把魔方复原的人大都付出了大量的努力。我非常敬佩这些人的毅力。正是他们，发现了一个又一个的魔方公式，才使我们还原魔方的速度变得越来越快。

下面介绍一下魔方的玩法，当然我参考了网上，如（http://www.100bk.com/blog/post/185.html）在介绍里面，我要写些知识，为下面作铺垫。

普通玩法，也就是各种爱好者啦，他们满足于复原一个魔方，而不作更高的要求。

竞速玩法，为了追求更高的速度的玩法，这些复原方法是万能方法，而且他们运用的是复原方法中比较快的一种。我在这里写几种复原方法：

1. 层进法（入门方法）：将魔方的一层一层进行还原，每一层进行还原，最后复原整个魔方，这种方法如果有一个好魔方1min之内可以轻松完成。

2. CFOP法（主流方法）：分为4步完成，C=cross（底层十字）F=first 2 layers（前两层）O=orient last layer（顶层定位）P=position last layer（顶层定向）。这个方法可以在30S内轻松完成。

更多的可以在下面这个网址看到

http://zhidao.baidu.com/question/97254469.html?fr=qrl&fr2=query

这些方法大都和CFOP方法属于一个系统的。一般只是稍微的改变一下。

时间上的节省是用记忆力换得的，层进法只需要记忆不过20种情况，不到10个公式即可，而CFOP法则需要记忆上百种情况，及其所对应公式。所以为了比别人快，记忆很多东西是不可避免的。层进法需要大约120步，而CFOP法需要大约60步。关于群论上理论证明，复原任意一个魔方，只需要最多26步（这个界不是紧的），那么我们可以设想，如果一个人大脑有足够的容量，记忆足够多的公式，那最多26步就可以完成了，肯定是一个创造吉尼斯纪录的成绩。不过，我觉得，比速度。。至少对于我来说，记忆不了那么多吧。所以这种玩法其实是记忆公式。

盲拧：蒙着眼睛把一个魔方复原，是不是一件很神奇的事情呢？如果按照CFOP法，这可不可能呢？答案是否定的，从盲拧和正常拧的世界纪录就可以看出它们用的方法不是一种，至今没有一个人成为这样的记忆奇才。因为百余种情况不是闹着玩的，而且每完成一步以后需要观察再进行下一步，蒙着眼睛是做不到的。这就需要一个神奇的公式–三轮换公式，通过这个公式，不仅仅使我们变换的块数最少，而且还减小了它们之间的相互影响，这也使盲拧变成了一种可能。只需要记住4个公式就可以完成。当然同时，更让人头疼的可能是记住20块的位置朝向了。所以说，盲拧与其说是神奇，倒不如说是记忆位置。这个在CCTV科学探索中播出过。

最小步数复原：这个很NB。。应该是通过记公式算公式吧，我不太了解原理了。就把记录写在这里。。。目前的世界纪录是28步还原，耗时2个半小时。

还有单拧（单手拧）脚拧。。。当然我认为这些是无聊的。。

数学版：

在http://bbs.mf8.com.cn/archiver/?tid-12822.html中，曾经有个人发表了一个一篇关于三轮换的文章，结果。。有人钦佩，有人讽刺，只有极少数的人和作者进行了讨论。魔友大部分只是记住公式，其实也不用知道原理。他们也许是对的，不过，我在这里说一句，我觉得中国对于数学至少是不重视的，数学只是作为一种升学手段应用于应试教育中。尤其是奥数，其实数学当中哪里有那么多的技巧？？奥数中绝大部分的题目来源于同年龄段更高等的数学之中。很多人都说奥数题又偏又难，为什么，因为他们没有学过相关知识而去做题，不习惯那些思考方式，怎么会不觉得难？为什么陶哲轩12岁拿到奥数金牌并且成为数学大师而中国本土出了那么多奥数金牌却都平平庸庸？因为陶哲轩不是做题做出来的，他在12岁前就把微积分学完了而且学得很好。再者中国为什么那么多人痛恨数学？做题做的。数学是很直观的东西，每一个概念都对应一个直观，从生活中抽象出来，只要用心看就有收获。

唉。。不说了，言归正传，首先我们要解决一个问题，如何将魔方群表示，参见http://qzc.zgz.cn/Y-mofang4.htm，下面将部分引用

符号：u=upper, f=front, b=back, r=right, d=down, l=left

我们将魔方面对右面（r面），看到右面一层如下左图，转动Y3后如右图，就可得出各块的变动。

类似分析Z3，

二者复合为

其中对角方块，右上角的正号表示此块顺时针转2π/3 ，负号表示反时针转。对棱方块表示有一个方向的翻转。 上面分析说明，经过Y3,Z3两个转动，上右前角块回到原地，但顺时针转了2π/3 。还有5个角方块做了一个轮换，各反时针转了2π/3 ，或说顺时针转了4π/3 。7个棱方块做了一个轮换。

可以看出这是一个置换群，它是全部状态的一个子群，但它不是一个普通的20阶群，因为其棱块角块的朝向问题，魔方的群结构比一般的20阶群更复杂。而且它有另一个特点—更为特殊。

特殊之处在于两个三轮换公式（分别是对棱块，角块），这个公式我首先是直观认识到的，是我在学习层进法中众多公式的一个，它的意义在于我们可以把3个棱块（角块）互换，相当于(123)->(231)，而且在确定位置的情况下，这3块的朝向是确定的。我本来没有打算去证明这个结论，因为我们线性代数老师说过：“如果你不信这件事情的话，亲自去做做不就行了。”不过后来我看到了http://bbs.mf8.com.cn/archiver/?tid-12822-page-1.html，觉得这个人好委屈，证明了三轮换公式的存在性还被人奚落，于是想帮他解释一下。（下面我沿用抽象代数中的符号）

我们证明对于棱块的三轮换公式是存在的。设想有两个轮换t1, t2, 它们分别代表一个对于魔方的置换。这两个轮换有一个特点，他们变换了一个相同的棱块记为a，t1中a1->a，t2中b1->a,下面我们做一个共轭变换t=(t1′)(t2)(t1)，t是什么呢？t是一个近似t2的变换，只不过t1的a1变到t2的“轨道”里去了，而a还在原来的位置，下面我们做(t2′)(t),就有a1,a,b1互换位置。

我们有图解如下：

3-cycle proof

其实证明中有一个小小的问题，因为只有8个角块，所以说我们要找两个共用一个角块的四轮换才可以，我们可以利用上述方法继续找，方法不详述了。

推论：我们能找到任意三轮换公式（即任何3个棱块（角块）都存在三轮换）。

对棱块进行说明，记6个棱块，123456，首先我们能找到两个三轮换(123),(345),我们作一个共轭变换(345)(123)(345)’=(124)，这样我们就从一个三轮换推到了另一个三轮换。我们再找一个关于6的棱块，把(124)共轭成(164)，这样，164三个棱块都是任选的了，证毕。

三轮换公式完全说明了魔方中角块和边块是互不影响的！也就是我们可以把魔方的20块拆成12个角块和8个边块分别进行研究。下面我有些冏。。我应该说明二轮换公式是不存在的，不过我没有证明出来，但它确实是不存在的。也许哪位高人可以帮我。其实计算机搜索应该是可以解决的。。但一个纯数学的证明会更好些。

下面讨论如果把一个魔方拆了之后再拼上，正确概率有多大？我们知道一个好的魔方和一个不好的魔方只是不在一个“轨道”里，但是他们变出的状态时一样多的，因为他们同构。所以说我们只需要算出魔方不同轨道个数即可。

我们首先计算出随便拼出的魔方有多少种状态，这是可以由初等数学的排列组合解决的。

12!*8!*2^12*3^8=519024039293878272000

然后我们利用上面的结果，把角块和棱块分开考虑。对于棱块，全部正确是一种情况，如果我们把一块棱块朝向改变，其余都正确，是不可复原的。而这一个棱块可以在任意位置，它们都在一个轨道内（这个用任意三轮换公式可以证明）。还有一种是两个棱块调换位置，注意调换位置之后再改变朝向也是可以化到这种情况里的，而3个棱块及以上的调换，都可以用三轮换公式约简到2个棱块及以下的调换。所以对于棱块来说，只有3种情况。同样，由于角块多了一种朝向，所以是4种，那么，我们一共有3*4=12个轨道。

在这12个轨道里，我们只有一个是正确的，所以我们随意拼上正确的概率为1/12。

由此，我们可以计算魔方的状态数：12!*8!*2^12*3^8*1/12=43252003274489856000

后记：

其实我有更深的思考，魔方只是群论中的一个具体例子，但它已经如此繁复，有限群的研究不是那么简单的事情。而23步就一定能复原一个魔方给了计算机科学更大的挑战。如何搜索，能不能出现更新的技术都是小魔方能引入的大问题。实际上，把魔方用群的语言表示出来，最后找到复原解，是一个纯粹符号的计算，它只涉及到置换群的乘法，要找到复原魔法的最小步骤解，只需把分解成最少次乘法。研究这个搜索技术应该对研究置换群的运算是有很大好处的。

将魔方符号化是有好处的，它直接允许我们用计算机来研究魔方。

把魔方当作数学看，真的是一件很有趣的事情，也是学习群论的一种手段吧。

本文请勿随意转载，转载请说明出处

做一些为以后文章打基础的工作。

数学不同于物理，前者具有可辨真性，而后者只具有可辨伪性，可以这样来理解数学这个名词：数学是建立在一系列公理之上的经过严密推演得到一系列结论的学科。数学的严密性是毋庸置疑的，除了哲学，逻辑学等少数学科，没有哪门学科的严密性可以和数学媲美，公理作为数学的基础，当然就扮演了极其重要的角色。

公理的特点大概有三：

一，是公认的基本原理，公认，即大家都认可，比如一条直线可以无限伸长，如果不被所有人认同，例如欧几里得的第五公设：两条平行线没有交点，就会产生问题，从而导致不同的学科的产生，如罗氏几何和黎曼几何。

二，不可用其他公理证明，否则可称为等价公理，例如选择公理有几种等价形式，只需取出一条就可以

三，容易从公理推出其他结论

定义在一定程度上也可以称为公理，而公理系统则是一系列公理，从上述特点可以看出公理不是那么好断言的，一个人考虑一条公理的时候三个特点必须缺一不可，要不然就会闹出笑话。

对于公理的认识，人类可能走了两个极端。

起先数学家并没有意识到公理的重要性，而是依靠直觉，不可否认直觉在数学中扮演很重要的角色，Gauss，Galois等大数学家都是先靠着直觉来发现定理，这可以说是1%的天赋（虽然只有1%，但是更胜那99%的努力），但是，数学还有另一个特点：严密性，直到第三次数学危机爆发人们才完全意识到了这个问题，，Hilbert提出了23个影响了数学发展的问题并把公理化提上历史议程，但是他认为存在这样一个完备的数学系统可以把所有的定理推出，终于他的梦想被Gödel的不完备定理粉碎，数学可能就是缺憾美吧，完备的话也就不美了，于是数学还是要同时依靠直觉和公理化的。

但是需要指出的是Hilbert可能过重的影响了现代的数学，数学现在可能被束缚在了一个狭窄的轨道里发展，为了获得更广阔的发展空间，可能需要另一位大数学家改变现今的格局（个人感觉，个人猜想。。。） ]]> http://www.wickyroam.com/blog/archives/126/feed 0 http://www.wickyroam.com/blog/archives/133 http://www.wickyroam.com/blog/archives/133#comments Sun, 21 Sep 2008 23:04:00 +0000 wr http://www.wickyroam.com/archives/133 b = (-a+a) + b = (-a)+(a+b) = (-a) + (a+d) = (-a+a)+d = d M可以是任意的，比如我可以作如下M： M={0，猫，狗，阿猫阿狗}，定义+：0是单位元，猫+狗=阿猫阿狗，猫+阿猫阿狗=0，狗+狗=0，狗+阿猫阿狗=猫，猫+猫=狗，阿猫阿狗+阿猫阿狗=狗 怎么样，想到了什么？猫狗大战，很无聊吧，很幼稚吧，哈哈，改天写下高代。。。 ... ]]> 嗯，RT，今天很不爽，所以我写的这篇文章也很幼稚。。。

为什么从小学以来老师们严格禁止除0呢？在C语言中，如果除的结果过大的话就会输出#1.INF等，但是每当除0的话就会报错Running Time Error，为什么我们不定义1/0 = ∞？

其实原因很简单，假设我们可以定义1/0 =∞， 那么2/0=∞，而2/0 = 2*1/0 = 2*∞ = ∞ + ∞ = ∞, 利用定义加法中的公理∞=0，这就导出了矛盾

怎么样，想到了什么？猫狗大战，很无聊吧，很幼稚吧，哈哈，改天写下高代。。。
]]> http://www.wickyroam.com/blog/archives/133/feed 2 http://www.wickyroam.com/blog/archives/138 http://www.wickyroam.com/blog/archives/138#comments Wed, 03 Sep 2008 02:17:00 +0000 wr http://www.wickyroam.com/archives/138 Fibonacci数列之普及版：

Fibonacci数列源起一个我们现在看起来非常“幼稚”的问题：开始时有一对兔子，每对兔子每个月繁殖一对，假设兔子没有死亡，这样历经了n个月，兔子有了多少对呢?

很容易把这个问题用数学语言来表达出来：

设第n个月有F(n)只兔子，依题意有

F(0)=1, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2)

看上去就是一个很简单的数列，又有什么玄机呢？

首先从直观的感觉上来说，似乎这个数列增长速度并不是很快，就是加法嘛，怎么加也就那样了，但是这种感觉是大错特错的！我们可以利用下面的程序运行一下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int F[50];
int main()
{
int i;
F[0]=F[1]=1;
for(i=2;;i++){
F[i] = F[i-1]+F[i-2];
if(F[i]
}
int cnt=i;
for(i=0;i<45;i++)
{
cout << F[i] << endl;
}
system("pause");;
}


最后一项是n=45时的情况，已经是10^9了，增长速度是惊人的！学过生物的人肯定知道有一个在没有生存压力的情况下种群“J”字形增长图，没错，就是这个模型。

于是大家就会思考了，那个图好像是指数型增长，难道说Fibonacci数列也是指数型增长的吗

我们来做一个实验，用Matlab一下，画出log(Fn)的图像

几乎是一条完美的直线，看来Fibonacci数列确实是呈指数形式增长的
虽然完美，但在左下角依然有一小小的显然不成线性的部分，这说明Fibonacci数列毕竟不是指数序列，而是一个混合体。

事实上，这个数列的通项公式是1/√5*(((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n),有人说，这是什么破公式，一点也不完美，但是仔细看就会发现(1+√5)/2是黄金分割比，而(√5-1)/2是它的倒数，为什么我们求出来的log函数是个线形的呢，因为((√5-1) /2)^n)->0,主部是((1+√5)/2)^n就是一个指数型的函数

在现实世界中到处可以见到Fibonacci数，比如某某花5瓣，某某花8瓣又有13瓣的，我都不感兴趣了，对于分形中的Fibonacci倒是很有兴趣，却没有探究，以后吧

Fibonacci数列之提高篇：

如何计算Fibonacci数列的通项公式？如果要证明的话就用数学归纳法好了，要是计算的话，有一种特征值理论，具体也可以从母函数（自组合数学）理论中推出，先不写这些理论了，具体应用很简单：
F(n)=F(n-1)+F(n-2) n-2最低项看成常数项，n-1看成线性项，n看成二次项，得到特征方程
x^2=x+1 ==> x=(1+√5)/2 | (-√5+1)/2,于是通项可以写成F(n)=a((1+√5)/2)^n+b*((-√5+1)/2)^n,再F(0)=F(1)=1代入就可以得到a=b=1/√5,得到了证明

在计算机领域，我们虽然有了通项公式，但是根号肯定意味着舍入误差，所以一般来说并不直接用通项公式这种方法，代之的是以下的矩阵运算

相对而言，两个公式都要计算n次方，所以应用二分法时间复杂度都是O(logn)，但是第二个精度就高了

有一个经典的证明（至少我认为）是GCD（利用Euclid算法）的时间复杂度O(logn)，这个证明只有数学的美感，而不是计算机科学看起来那么繁冗，是我在某本《代数》上看到的，首先介绍GCD算法（具体GCD我在这里就不说了，如果谁有需要我改天再写一篇文章，其实GCD和Fibonacci列一样不那么简单，也是一门科学啊）：


function gcd(a, b)
if b = 0 return a
else return gcd(b, a mod b)


对于a，b的最大公约数，如何求？这个算法告诉我们：先找到a，b中的较大者为a，较小为b，计算a mod b = c,再把b赋给a，c赋给b，判断b是否为0，是就返回a，否则重复上述过程即可

下面是证明：由求GCD的过程，我们可以构造一个序列a,b,a mod b b mod(a mod b)….记为{An}
由于a总是大于等于b的，（如果等于就已经找到了，易证）那么我们可以得到一个不等式a-b>=(a mod b),这个还不是很明显，换一种写法

A(n)-A(n-1)>=A(n-2) ==> A(n)>=A(n-1)+A(n-2)

!!!简直就是不知道首项的Fibonacci数列，只不过把=换成>=，那好了，它比Fibonacci数列增长还要快，所以最坏情况不过O(logn)了，而且观察可见如果{An}就是一个Fibonacci数列，每一次递推都是=!所以Fibonacci数列就是最坏情况，也达到了O(logn)
综上，证毕

Fibonacci数列之精通篇：（我也不是很精通。。。所以说这一部分希望牛人进行补充）

本来今天要查一些资料写的更充实些的，但是由于我被问了几个我几乎答不上来的问题。。。于是现在就两点多了，困死我了，睡觉去。想起什么再加

希望这篇文章老少皆宜，能为大家提供些许帮助！

另注：本文原创，所以我就挑我觉得重要的写，比如Fibonacci其人就不介绍了。。