Wicky Roam's Blog

Klein Bottle

对于数学的问题，我尽量找一些有趣的话题用浅显的语言讲出来，不涉及一些数学艰深的东西，而我在后面会推荐一些参考文献，如果确实感兴趣，那些可以供大家阅读。
Klein瓶
我们首先从Mobius带讲起。
可能大家都听说过，如果没有听说过没有关系，我们可以做一个实验，拿一张白纸，剪一个长方形小窄条，然后把长方形窄的两端反方向贴在一起，就可以形成右图。
注意到我们只用了一个长方形的纸条，但是我们粘出来的东西总感觉是一个扭曲的空间，假想你是一只小小的蚂蚁，在外面绕着这个带子爬，你一直看着左边，当你很努力的爬了一圈的时候，你回到了原点，不过你已经在里面了！而且你看到的左边变成了右边！
世界似乎倒转了，还好地球不是这样的，如果我们的地球是这样的话，那环游地球八十天回到伦敦的Phileas Fogg先生发现自己应该已经面向地壳了吧，嗯~开个玩笑。
作为天才的发明，Klein设计了这个瓶子

我们仍然假设自己是蚂蚁，那么我们从一个点爬啊爬，怎么才能够环绕一圈并且回到原点呢？
Klein瓶似乎更神奇，因为它更像一个三维空间里的产物，是我们现实中的东西，如果我们在这个空间里行走，绕行一圈，我们以为自己走出去了，但是，其实我们还在这个空间里，这就是扭曲的魅力。
事实上，Klein瓶包含了两个Mobius带，这个是拓扑里面的概念，抛开数学不谈，是不是宇宙就是这样一个空间，或者是更高维的，再大胆一些，我们的背后是不是还有另一个星球？
对于数学，如果感兴趣，看看Wiki，会很有收获的~

Galois Theory

介绍个网站,是关于Galois Theory的,这个理论的起源就是为了说明5阶以上的方程没有求根公式,无法3等分任意角
而这个网站是权威的介绍这一理论的电子书,我先做个标记,如果我有时间了,应该会写这一方面的内容
http://www.galois-group.net/

抽象代数之应用–智力拼图的探究

智力拼图，是我小时候玩的一个游戏，一个图片具体如下：

当时对于这个东西，虽然它没有魔方抽象，不过要把它拼好绝对不是一件容易的事情，我当时就作为一个笨小孩，总是乐于绕在其中不得其法。现在想想，应用抽象代数的理论可以把它轻易的解出来，其实，它只是群论里的一个简单应用罢了
模型抽象：
首先我们要建立这个玩具的数学表示：
为了方便起见，我们认为这样一个游戏是N*N大小的，而且右下角的那个角块为空。然后把其他的小块标号，现在假设N=3，正确的顺序如下图所示：

现在我们来制定游戏的规则，游戏的规则是：空格和它旁边的（仅有它旁边的可交换）。
这个游戏的抽象很简单，重要的是我们要做什么，我们的研究目的是：这种初始形式可以变成什么样其他的样式？
模型求解：
定义：一个置换（transition）就是把上述N*N的图中的任何两个数字交换。
这一节里我们将阐释这篇文章最重要的结论，这个结论是：
一个被打乱的3*3智力拼图可以被复原，当且仅当打乱后的样式和原始样式相差偶数个置换。
1. 首先我们永远要把空格保持在最下面，事实上，不论空格到哪里，它都可以回到最下面。（这很简单，也是明显的）
2. 每次进行一次操作，我们必须要移动一次空格，而根据1，我们要把空格挪到别的地方，然后再挪回来，这样，来回操作必须是偶数次，所以每次我们需要把次序重排，必须要偶数次操作。
3. 根据抽象代数的结论，偶数次置换，就是偶数次操作，这是等价的
4. 由2,3，我们可以得到，如果3*3的智力拼图可以复原，那么它必然经过偶数次置换，至此我们完成了(==>)的证明。
5. 为了证明(<==)，我们找到一个偶置换，我...

实分析Skeleton 1

度量空间，性质，对称性，三角不等式。度量是用来测量距离的，也就是赋予线性空间几何性质（还稍稍有别于拓扑性质）
范数空间，可看作度量空间的拓展，每个度量可以诱导出一个范数空间，每个范数空间也可以定义度量。
内积空间，可用于定义范数，Cauchy-Schwarz不等式
Banach空间，完备的范数空间
Hilbert空间，完备的内积空间
有了几何性质，度量空间可以定义极限。对于一个点，能找到一个空间中的序列逼近，就叫做极限。反之，如果任何一个好的序列（Cauchy列）能逼近空间中的一点（并不是总成立），就叫空间完备。如果两个序列收敛，且它们距离趋于0，则趋于同一点。空间中的集合时有界的，即任何两点间距离小于无穷，但是这个定义没有实数中那么管用，因为在无限维空间里，有界往往不能研究出空间的性质，这时，需要一致有界，也就是这个集合可以被任何有限epsilon网覆盖。在有限维两个一样，但是无限则不同，一致有界更强。一致有界的充要条件是对于任何一个序列，有一个子列，是Cauchy，可分，一致有界的集合都可分。这导出了紧性的概念，紧性是更强的性质，要求空间里的任何一个序列都有一个Cauchy子列，这个子列收敛于空间里的点。紧性的充要条件是一致有界+完备，或有限子覆盖。取一个序列收敛子列的对角线方法。
一些拓扑不变性，其实上面也有，这里把函数的性质拿出来。连续，一如数学分析中的定义。在一点连续充要条件是对于任何收敛这一点的序列，函数值收敛于这一点。一致连续，程度一致，有和连续类似的充要条件。Lipschitz连续，程度更加有限，总之是更加严格的关系。同态，指映射和逆映射都连续，拓扑等价，单位映射在不同的度量下连续充要条件任...

抽象代数Skeleton 1

。。。都是该死的考试惹得祸，开始紧张了，梳理给自己，也是写给大家，可能大家也会在考试之前有所借鉴吧~（红色的是我回忆落下的）
知识梳理：
群的概念，运算封闭，结合律，单位元，逆元。验证一个集合关于一个运算是群的时候缺一不可。另外如果可以交换就是Abel群。 子群，在群内，只要验证一个元乘以另一个元的逆元在这个集合里即可。 左右陪集，用于划分一个群，可以划分成多个部分，有Lagrange定理，用于计数（同时可以是关于群的阶和元素的阶）。 正规子群，虽然左右陪集划分了一个群，但是这样的划分本身不成群，（也可以说运算无定义）所以引入左陪集=右陪集的概念来研究一个群的子群。有3个同构定理，主要用第一个做题，定义同态，求运算的核。 群的直和（直积）还是可以用来定义群（弱直和），特别注意定理如果一个群，可以表示为不交（其实是平凡交）正规子群生成的，则这个群就和这些正规子群的直和同构，这可以用来表示这个群的结构。 特殊群： 循环群，循环群生成元只用一个，然后任何阶子群最多有一个，然后p阶群（p是素数）在同构意义下只能是循环群。 对称群，n个元素的所有排列组成的群，无所不包，它的偶排列形成一个群，这个群是单群（除非n=4，有4阶正规子群）排列即算术。。 dehedral group: 这个不好翻译。。似乎是二面体群，它的生成元有两个，n阶群元素2n个，说白了就是一个正n变形来回转，是n阶对称群的子群
注意要点：
关于集合之间的运算要证明这个运算时可以定义的 关于证明同构，必须先证明同构，而且这个映射又单又满 关于同构类，需要找到一个样板群，比如说(Z/pZ,+) 关于直和，证明的时候别写晕了下标。。 关于有限阶群的构造，

关于哥德尔不完备定理

这里不是从学科角度，而是讲了一个比较通俗的故事，为了让大家更容易的懂这个定理罢了，如果大家想仔细学的话，请去看数理逻辑书。
哥德尔不完备定理是说，我们不可能完全的公理化。
故事发生在上个世纪30年代，Hilbert想完成人类的一项伟业，就是完全公理化，就是把这个世界都归于一个系统，在这个系统里，有所有数学的公理，在这些公理基础上可以证明所有的定理。这是一个很疯狂的想法，和Einstein当年为“统一场论”作出的努力一样，都是划时代的。不过这个计划由于Godel的出现，完全夭折了，于是人类懂得更多。
数学的公理化我原来曾经讲过，请看这里， 通俗来讲，Godel的想法是把所有公理标上号，因为人类只能计算有理数个公理，然后他证明了当这些公理增长的时候，定理的个数随着指数增长，所以他怎么都不能用有理数标全所有的定理，也就是说定理的个数是2的公理次幂。
这个结果直接粉碎了Hilbert的计划，使他晚年的研究趋于平庸，而对于Einstein来说，真的存在统一场？说不定又一个哲学家可以粉碎他的梦想。
对于Godel，当然他进了精神病院，对于这样一个天才，上天让他疯掉，可能是公平的吧，他人生的最后时光认为所有的人，除了他爱的妻子都想杀他，所以当他妻子病死了之后，他不久就绝食而死。
但人类确实知道的更多，除了学术上的成就，这个定理其实可以解释一个现实现象，那就是，为什么人类学的知识越多，却发现他们自己懂得越少。
既然哥德尔说明了这个世界上没有完备的系统，也就是说我们只能扩展自己的知识，却永远到不了尽头，而且发现自己不懂得的越来越多。知识真的没有止境吗？
为什么人会信神？我是不可知论的。我尽可能客观的说...

魔方以及其数学原理

对于魔方，我们应该都不陌生，近两年来，稍微细心一点的人都可以发现，魔方作为益智玩具的一种，已经被越来越多的摆上了货架，被越来越多的人所喜爱。不久以前，我因为无聊，也就拿了一个魔方来，准备学习学习。（其实是因为同学说，许许多多数学牛人魔方都玩得很好，所以就虚荣心作祟了）然后又有一个同学和我说：“玩魔方没有意思，一看到魔方我就想起小学那些奥赛题了。”其实在研究了之后，我不认同这一点，我认为魔方作为一个特殊的代数结构，还是有其相当大的存在价值和研究价值的。这篇文章主要是由一些魔方的入门知识（科普版）和数学原理（数学版）组成的。科普版主要写魔方的基本知识，以及其玩法，启发公式的重要性。数学版主要是对魔方的数学原理进行探究，其中包含群论的一些内容。

科普版：
魔方（Rubik’s Cube）是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在1974年发明的。他发明魔方的目的是考察建筑学院学生的空间建构能力。具体地说，魔方由26块组成，具有12个棱块，8个角块，6个中心块组成，魔方中心那一块是中空的。同时6个中心块是无法移动的。那么，其实，一个魔方只有12个棱块，8个角块可以移动。（其实，拆过魔方的人都清楚，我就是一个拆魔方狂热分子。。。）。转动魔方只有一种操作，那就是，将一个面顺时针转90度。其他所有操作，都是这个操作复合而成的。那么，这一个操作，可以将魔方变出多少种不同的状态呢？答案是4.3*10^19。如此复杂的一个状态集合，也难怪大家难以把一个魔方复原了。
我佩服那些没有通过学习魔方玩法而自己把魔方复原出来的人。我自己就没有，（其实是我一位同学太坏了！他把我的魔方拆下来，又装上，于是那个是一个...

公理之于数学

做一些为以后文章打基础的工作。
数学不同于物理，前者具有可辨真性，而后者只具有可辨伪性，可以这样来理解数学这个名词：数学是建立在一系列公理之上的经过严密推演得到一系列结论的学科。数学的严密性是毋庸置疑的，除了哲学，逻辑学等少数学科，没有哪门学科的严密性可以和数学媲美，公理作为数学的基础，当然就扮演了极其重要的角色。
公理的特点大概有三：
一，是公认的基本原理，公认，即大家都认可，比如一条直线可以无限伸长，如果不被所有人认同，例如欧几里得的第五公设：两条平行线没有交点，就会产生问题，从而导致不同的学科的产生，如罗氏几何和黎曼几何。
二，不可用其他公理证明，否则可称为等价公理，例如选择公理有几种等价形式，只需取出一条就可以
三，容易从公理推出其他结论
定义在一定程度上也可以称为公理，而公理系统则是一系列公理，从上述特点可以看出公理不是那么好断言的，一个人考虑一条公理的时候三个特点必须缺一不可，要不然就会闹出笑话。
对于公理的认识，人类可能走了两个极端。
起先数学家并没有意识到公理的重要性，而是依靠直觉，不可否认直觉在数学中扮演很重要的角色，Gauss，Galois等大数学家都是先靠着直觉来发现定理，这可以说是1%的天赋（虽然只有1%，但是更胜那99%的努力），但是，数学还有另一个特点：严密性，直到第三次数学危机爆发人们才完全意识到了这个问题，，Hilbert提出了23个影响了数学发展的问题并把公理化提上历史议程，但是他认为存在这样一个完备的数学系统可以把所有的定理推出，终于他的梦想被Gödel的不完备定理粉碎，数学可能就是缺憾美吧，完备的话也就不美了，于是数学还...

写个弱智的，为什么不定义1/0

嗯，RT，今天很不爽，所以我写的这篇文章也很幼稚。。。
为什么从小学以来老师们严格禁止除0呢？在C语言中，如果除的结果过大的话就会输出#1.INF等，但是每当除0的话就会报错Running Time Error，为什么我们不定义1/0 = ∞？
其实原因很简单，假设我们可以定义1/0 =∞， 那么2/0=∞，而2/0 = 2*1/0 = 2*∞ = ∞ + ∞ = ∞, 利用定义加法中的公理∞=0，这就导出了矛盾
怎么样，很幼稚吧，继续来:
什么叫加法？
在空间M中定义加法+是满足几条公理的运算法则，大概如下：
1 交换律：a+b=b+a
2 有结合律：(a+b)+c = a+(b+c)
3 有唯一单位元0：a+0 = 0+a = a
4 a有唯一逆元：a+(-a)=(-a)+a=0
消去律可以从这几条性质推出：a+b=a+d ==> b = (-a+a) + b = (-a)+(a+b) = (-a) + (a+d) = (-a+a)+d = d
M可以是任意的，比如我可以作如下M：
M={0，猫，狗，阿猫阿狗}，定义+：0是单位元，猫+狗=阿猫阿狗，猫+阿猫阿狗=0，狗+狗=0，狗+阿猫阿狗=猫，猫+猫=狗，阿猫阿狗+阿猫阿狗=狗
怎么样，想到了什么？猫狗大战，很无聊吧，很幼稚吧，哈哈，改天写下高代。。。

奇趣Fibonacci数列

Fibonacci数列之普及版：
Fibonacci数列源起一个我们现在看起来非常“幼稚”的问题：开始时有一对兔子，每对兔子每个月繁殖一对，假设兔子没有死亡，这样历经了n个月，兔子有了多少对呢?
很容易把这个问题用数学语言来表达出来：
设第n个月有F(n)只兔子，依题意有
F(0)=1, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2)
看上去就是一个很简单的数列，又有什么玄机呢？
首先从直观的感觉上来说，似乎这个数列增长速度并不是很快，就是加法嘛，怎么加也就那样了，但是这种感觉是大错特错的！我们可以利用下面的程序运行一下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int F[50];
int main()
{
int i;
F[0]=F[1]=1;
for(i=2;;i++){
F[i] = F[i-1]+F[i-2];
if(F[i]
}
int cnt=i;
for(i=0;i<45;i++)
{
cout << F[i] << endl;
}
system(“pause”);;
}

最后一项是n=45时的情况，已经是10^9了，增长速度是惊人的！学过生物的人肯定知道有一个在没有生存压力的情况下种群“J”字形增长图，没错，就是这个模型。
于是大家就会思考了，那个图好像是指数型增长，难道说Fibonacci数列也是指数型增长的吗
我们来做一个实验，用Matlab一下，画出log(Fn)的图像

几乎是一条完美的直线，看来Fibonacci数列确实是呈指数形式增长的
虽然完美，但在左下角依然有一小小的显然不成线性的部分，这说明Fibonacci数列毕竟不是指数序列，而是一个混合体。
事实上，这个数列的通项公式是1/√5*(((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n),有人说，这是什么破公式，一点也不完美，但是仔细看就会发现(1+√5)/2是黄金分割比，而(√5-1)/2是它的倒数，为什么我们求出来的log函数...