抽象代数之应用–智力拼图的探究
智力拼图，是我小时候玩的一个游戏，一个图片具体如下：
当时对于这个东西，虽然它没有魔方抽象，不过要把它拼好绝对不是一件容易的事情，我当时就作为一个笨小孩，总是乐于绕在其中不得其法。现在想想，应用抽象代数的理论可以把它轻易的解出来，其实，它只是群论里的一个简单应用罢了
模型抽象：
首先我们要建立这个玩具的数学表示：
为了方便起见，我们认为这样一个游戏是N*N大小的，而且右下角的那个角块为空。然后把其他的小块标号，现在假设N=3，正确的顺序如下图所示：
现在我们来制定游戏的规则，游戏的规则是：空格和它旁边的（仅有它旁边的可交换）。
这个游戏的抽象很简单，重要的是我们要做什么，我们的研究目的是：这种初始形式可以变成什么样其他的样式？
模型求解：
定义：一个置换（transition）就是把上述N*N的图中的任何两个数字交换。
这一节里我们将阐释这篇文章最重要的结论，这个结论是：
一个被打乱的3*3智力拼图可以被复原，当且仅当打乱后的样式和原始样式相差偶数个置换。
1. 首先我们永远要把空格保持在最下面，事实上，不论空格到哪里，它都可以回到最下面。（这很简单，也是明显的）
2. 每次进行一次操作，我们必须要移动一次空格，而根据1，我们要把空格挪到别的地方，然后再挪回来，这样，来回操作必须是偶数次，所以每次我们需要把次序重排，必须要偶数次操作。
3. 根据抽象代数的结论，偶数次置换，就是偶数次操作，这是等价的
4. 由2,3，我们可以得到，如果3*3的智力拼图可以复原，那么它必然经过偶数次置换，至此我们完成了(==>)的证明。
5. 为了证明(<==)，我们找到一个偶置换，我们要求这个偶置换比较标准，最好就是2次置换。
在这4幅图中，我们每次都挪动了两次空格，从效果上来看我们把6->5, 5->8, 8->6, 这样，我们事实上通过了2次置换，记做(568)
现在来看我们证明存在任何(abc)，这样我们就可以从初始形式得到所有的偶置换，也就是说，只要是偶置换，就可以复原。
除了(568),必然存在(56b) (b!=8)
(56b)(568)(65b)=(6b8)=(86b)
(86a)(86b)(68a)=(8ab)=(b8a)
(b8a)(b8c)(8ba)=(abc)
所以说我们有任意的偶置换。证毕。
注记：这样的所有偶置换，构成一个群，被称作交错群，事实上，偶置换再乘上一个置换，就成为一个奇置换，所以这奇偶置换的个数是相同的，这个就是所有置换，所有置换有8!那么多（除去空格），那么偶置换的个数是8!/2个，因此对于一个3*3的拼图，我们可以凑出8!/2=20160种正确样式！当然你把拼图拆了，可以弄出更多：）
对于N>3，我们可以类似的得到上述结论，但是N=2时，运用枚举法，它只有一种样式。
上述的构造对于玩智力拼图是非常有益的，因为，从这个构造我们可以作出任何的偶置换，所以如果这个拼图是正确的，我们一定能还原，虽然可能会比巧妙解法慢很多。
该文是本人自己根据回忆（。。。）想出，所以可能有考虑不周之处，或者说的不清楚的地方，请大家指出。