公理之于数学
做一些为以后文章打基础的工作。
数学不同于物理，前者具有可辨真性，而后者只具有可辨伪性，可以这样来理解数学这个名词：数学是建立在一系列公理之上的经过严密推演得到一系列结论的学科。数学的严密性是毋庸置疑的，除了哲学，逻辑学等少数学科，没有哪门学科的严密性可以和数学媲美，公理作为数学的基础，当然就扮演了极其重要的角色。
公理的特点大概有三：
一，是公认的基本原理，公认，即大家都认可，比如一条直线可以无限伸长，如果不被所有人认同，例如欧几里得的第五公设：两条平行线没有交点，就会产生问题，从而导致不同的学科的产生，如罗氏几何和黎曼几何。
二，不可用其他公理证明，否则可称为等价公理，例如选择公理有几种等价形式，只需取出一条就可以
三，容易从公理推出其他结论
定义在一定程度上也可以称为公理，而公理系统则是一系列公理，从上述特点可以看出公理不是那么好断言的，一个人考虑一条公理的时候三个特点必须缺一不可，要不然就会闹出笑话。
对于公理的认识，人类可能走了两个极端。
起先数学家并没有意识到公理的重要性，而是依靠直觉，不可否认直觉在数学中扮演很重要的角色，Gauss，Galois等大数学家都是先靠着直觉来发现定理，这可以说是1%的天赋（虽然只有1%，但是更胜那99%的努力），但是，数学还有另一个特点：严密性，直到第三次数学危机爆发人们才完全意识到了这个问题，，Hilbert提出了23个影响了数学发展的问题并把公理化提上历史议程，但是他认为存在这样一个完备的数学系统可以把所有的定理推出，终于他的梦想被Gödel的不完备定理粉碎，数学可能就是缺憾美吧，完备的话也就不美了，于是数学还是要同时依靠直觉和公理化的。
但是需要指出的是Hilbert可能过重的影响了现代的数学，数学现在可能被束缚在了一个狭窄的轨道里发展，为了获得更广阔的发展空间，可能需要另一位大数学家改变现今的格局（个人感觉，个人猜想。。。）