实分析Skeleton 1
度量空间，性质，对称性，三角不等式。度量是用来测量距离的，也就是赋予线性空间几何性质（还稍稍有别于拓扑性质）
范数空间，可看作度量空间的拓展，每个度量可以诱导出一个范数空间，每个范数空间也可以定义度量。
内积空间，可用于定义范数，Cauchy-Schwarz不等式
Banach空间，完备的范数空间
Hilbert空间，完备的内积空间
有了几何性质，度量空间可以定义极限。对于一个点，能找到一个空间中的序列逼近，就叫做极限。反之，如果任何一个好的序列（Cauchy列）能逼近空间中的一点（并不是总成立），就叫空间完备。如果两个序列收敛，且它们距离趋于0，则趋于同一点。空间中的集合时有界的，即任何两点间距离小于无穷，但是这个定义没有实数中那么管用，因为在无限维空间里，有界往往不能研究出空间的性质，这时，需要一致有界，也就是这个集合可以被任何有限epsilon网覆盖。在有限维两个一样，但是无限则不同，一致有界更强。一致有界的充要条件是对于任何一个序列，有一个子列，是Cauchy，可分，一致有界的集合都可分。这导出了紧性的概念，紧性是更强的性质，要求空间里的任何一个序列都有一个Cauchy子列，这个子列收敛于空间里的点。紧性的充要条件是一致有界+完备，或有限子覆盖。取一个序列收敛子列的对角线方法。
一些拓扑不变性，其实上面也有，这里把函数的性质拿出来。连续，一如数学分析中的定义。在一点连续充要条件是对于任何收敛这一点的序列，函数值收敛于这一点。一致连续，程度一致，有和连续类似的充要条件。Lipschitz连续，程度更加有限，总之是更加严格的关系。同态，指映射和逆映射都连续，拓扑等价，单位映射在不同的度量下连续充要条件任何收敛于一点的序列在另一个度量下收敛于同一点。复合的各种连续函数的保持各种连续性。开集，包含球，闭集，全体极限点，开集的补是闭集，边界。
范数等价，用Lipschitz连续定义，稠密，闭包是全体集合，
例子：无穷范数，BC（X），BUC（X）
汗。。。就这样吧，上天保佑，明天考试。。